Topoloji

20 Mayıs 2015 tarihinde ayla tarafından eklendi.

Günümüzde topoloji en önemli matematik branşlarından birini oluşturur. Topolojinin güncel şekilde ortaya çıkışı matematikçi Riemann (1826-1866) ve Poincare (1854-1912)’nin çalışmaları sonucudur. Ancak bundan öncede çeşitli matematikçiler topolojinin ortaya koyduğu bazı problemleri araştırmışlardır. Mesela eski çağlardan beri limit ve süreklilik kavranılan, çeşitli sorularda ortaya çıkmıştır. Bu sorulardan biri de yarış esnasında kaplumbağayı yakalayamayan Achille paradoksudur.

Günümüzde topoloji, dikkate değer bir gelişim göstererek, matematiğin bütün branşlarında ortaya çıkmıştır. Bu branşlar cebir (topolojik vektörel düzlemler), analiz (limit, süreklilik, fonksiyon incelemeleri), geometri vs…‘dir.

ilk bakışta topoloji geometrik şekillerin sürekli deformasyonlannı inceler. Bir düzlemde, herhangi kapalı bir eğri ve bir çember eşdeğerdir. Çünkü sürekli bir dönüşüm (transformasyon) ile bir şekilden diğerine geçilebilir. Topolojik uzay kavramı temel bir kavramdır.

ikincil bir bakışla da, topoloji uzaklığı göz önüne almaksızın noktaların diğer noktalara göre durumlarını inceler. Yüzlerin, tepelerin, çok yüzlülerin, ankesitierin oluşumlarını bir, iki, üç, dört,beş.. boyutu uzayda belirlemeye yarar. Topolojinin bu bölümü ‘analysis situs’ veya birleştirici topoloji olarak adlarıdırılır. Graflar teorisi bu şekilde çözüme ulaşünlır.

Bir düzlemde kapalı bir eğriyi göz önüne alalım. Bu eğrinin düzlemi iki bölgeye ayırdığı ve bu iki bölgenin ortak sınırını oluşturduğu söylenebilir. Bu bölgelerin biri “iç” diğeri “dış” bölge olarak adlandırılır. Düzlemin iki bölgeye ayrıldığı başka bir şekilde de açıklanabilir. A ve B nokta çiftlerini birbirine bağlayan çok açılı her çizginin eğri ile en azından bir ortak noktası vardır.

Üç boyutlu uzayda bir kapalı eğri uzayı iki bölgeye ayırmaz. Birbirinden ayrılan nokta çiftleri söz konusu değildir. Fakat bu iki noktadan geçen çokgenler bulunabilir ve bu çokgen ile sınırlanan her yüzeyin kapalı eğri ile bir ortak noktası vardır.

Bir kürenin yüzeyi gibi ‘kapalı bir yüzey’ de göz önüne alınabilir. Bu tür bir yüzeyde uzayı iki bölgeye ayırır: Bu iki bölgenin her birinden alınan birer nokta birleştirildiğinde, bu birleşmeyi sağlayan çok açılı her çizgi yüzeye en azından bir noktada temas eder.

Düzlemi ilgilendiren bir diğer sonuç da şudur: Yeterince küçük eyaletlere bölünmüş bir ülke düşünelim. Muhakkak ki üç eyaletin birleştiği noktalar söz konusu olacaktır. Aynı şekilde üç boyutlu uzay alam yeterince küçük alanlara bölündüğünde, dört alanın birleştiği noktalar söz konusu olacaktır. Bu problem n boyut için genelleştirilebilir.

Bir tek yüzü olan bir yüzeyin gerçekleştirilmesi mümkün müdür? Bu tür bir yüzeyin gerçekleştirilmesi şu şekildedir: AB/CD kağıt bandı alınır ve C’nin A’ya D’nin B’ye yapışacak şekilde bu banta bir gerilim uygulanır. Bir kalem ucu bunu tamamıyla katedip, kenarı aşmadan başlangıç noktasına dönebilir. Bu “Möbius Bandım” kıyıya paralel bir çizgi boyunca kestiğimizde, iki ayrı bölüm değil, iki yüzlü bir yüzey elde edilir. Yeni elde edilen yüzeyi benzer şekilde kesip, ne oluşacağım görmek ilginçtir.

Coğrafyacılar dört ayrı renk ile, bir küre veya herhangi bir düzlem üzerindeki ülkeleri, yan yana gelen iki ülke değişik renkli olacak şekilde boyayabilirler. Bu henüz tam olarak ispatlanmamış bir deney ile doğrulanır. Bir profil silme işleminde bir lastik şeklinde olan yüzey-, 7 ayn renk gereklidir. Çünkü böylece birbirine bitişik 7 ülke farklı renkle boyanmış olur.

Üç ev ve üç kuyu düşünelim. Yollar birbirini kesmeyecek şekilde her ev ve her kuyuyu birbirine bağlayan yollar oluşturmak mümkün değildir.

Konisgberg şehrinde yedi tane köprü vardır. Bu köprülerin hepsini birbiri ardına, aynı köprüden sadece bir defa geçerek katetmek mümkün müdür? Topolojinin kurucularından olan Euler tarafından bu sorunun cevabının olumsuz olduğu gösterilmiştir.

Etiketler:

Henüz yorum yapılmamış.

Şu Sayfamız Çok Beğenildi